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1 NOÇÕES BÁSICAS DE TOPOLOGIA 1 1.1 Caminho fechado em x 3 1.2 Classes de homotopia baseadas em x 3 1.3 Grupo fundamental π1 4 1.4 O segundo grupo de homotopia π2 5 1.5 Exemplos de domínios e grupos 7 1.6 Aplicação aos Hamiltonianos de sistemas fermiónicos 7 2 CONCEITOS 11 2.1 Fase de Berry 13 2.2 Efeitos da fase de Berry 14 2.2.1 Polarização elétrica da célula unitária 15 2.2.2 Corrente adiabática 16 2.2.3 Velocidade anómala 18 2.3 Simetrias discretas 19 2.4 Topologia de sistemas unidimensionais 25 2.4.1 Modelo de Shockley e número de enrolamento 25 2.4.2 Fase de Zak 27 2.4.3 Número de estados de fronteira 28 2.4.4 Hamiltoniano de dimensão superior 28 2.5 O sistema a dois níveis 29 2.6 Sistemas bidimensionais: o número de Chern 31 2.7 Cálculo do número de Chern pelo método das plaquetes 35 2.8 Curvatura de Berry como soma sobre estados 35 2.9 Estados de fronteira 36 2.10 Transporte quântico por estados de fronteira 39 2.10.1 Transporte quântico em uma dimensão 39 ii ÍND I CE 2.10.2 Condutividade de Hall em sistemas bidimensionais 40 2.10.3 Efeito de Hall quântico 41 2.11 Redução dimensional 42 2.12 Estados de fronteira no grafeno 43 2.13 Cálculo dos estados de superfície 45 3 ISOLANTES TOPOLÓGICOS 49 3.1 A construção do isolador de Hall anómalo 51 3.2 Grafeno e o modelo de Haldane 52 3.3 Estados de fronteira no modelo de Haldane 54 3.4 O isolador de Chern num campo magnético 55 3.5 O isolador topológico de Kane-Mele 57 3.6 Índice topológico Z2 58 3.7 Isolador topológico tridimensional 60 3.8 Alguns modelos de isolantes topológicos 62 3.9 Isolantes topológicos de ordem superior 64 3.10 Classes de simetria dos Hamiltonianos com hiato 65 4 SUPERCONDUTORES TOPOLÓGICOS 69 4.1 Equações de Bogoliubov-de Gennes 71 4.1.1 Simetria partícula-lacuna 72 4.1.2 Emparelhamento supercondutor 73 4.1.3 Função de onda BCS 76 4.1.4 Fermiões de Majorana 77 4.1.5 Base de Nambu (ou Balian-Werthammer) 78 4.2 Modelo de Kitaev unidimensional 80 4.2.1 Representação do modelo de Kitaev por fermiões de Majorana 81 4.2.2 Paridade fermiónica do estado fundamental 84 4.2.3 Modelo de Kitaev estendido 86 4.2.4 Modelo de Shockley expresso em termos de fermiões de Majorana 88 4.2.5 Modelo de SSH com emparelhamento tripleto 90 4.3 Estados de fronteira em junções de Josephson 95 4.3.1 Fermiões de Majorana numa junção π 95 4.3.2 Estados ligados de Andreev numa junção ϕ 97 4.4 Supercondutores bidimensionais 100 4.4.1 Supercondutor p+ip, sem spin 100 4.4.2 Cone de Dirac com supercondutividade de onda s 103 4.4.3 Supercondutor Z2 104 ÍND I CE iii 4.4.4 Inclusão de pseudo-spin 105 4.4.5 Exemplos de supercondutores numa rede bidimensional 107 4.4.6 Modelo de Sato e Fujimoto de um supercondutor tripleto 110 4.5 Supercondutor com impurezas 114 4.5.1 Cadeia magnética num supercondutor singleto 117 4.5.2 Cadeia magnética num supercondutor tripleto 119 4.5.3 Número de Chern no espaço real 120 5 SEMIMETAIS TOPOLÓGICOS 127 5.1 Definição e simetrias 129 5.2 Pontos de Weyl do tipo I 130 5.2.1 Fontes e sorvedouros de curvatura de Berry 131 5.2.2 Densidade de estados 132 5.3 Estados de superfície com “arcos de Fermi” 132 5.4 Anomalia quiral 134 5.5 Perturbação de um ponto de Dirac 136 5.6 Pontos de Weyl do tipo II 137 5.7 Anéis nodais 139 5.7.1 Invariante topológico em linhas nodais 139 5.7.2 Estados de superfície drumhead 141 5.8 Anéis nodais Z2 142 6 SISTEMAS DE SPINS COM PROPRIEDADES TOPOLÓGICAS 147 6.1 Representações de sistemas de spins 149 6.2 Cadeias de spins 151 6.2.1 Projeção AKLT 153 6.2.2 Fase de Berry 156 6.3 Defeitos topológicos 159 6.3.1 ”Hedgehogs”e skyrmiões 159 6.3.2 Vórtices e transição de Kosterlitz-Thouless 161 6.4 Dualidade e topologia 165 6.4.1 Transformação inversa de Jordan-Wigner 165 6.4.2 Representações fermiónicas do modelo de Kitaev unidimensional 166 6.4.3 Fase de Berry e mudança de representação 169 6.4.4 Topologia do modelo de spins na representação fermiónica 172 7 SISTEMAS FOTÓNICOS COM PROPRIEDADES TOPOLÓGICAS 175 i v ÍND I CE 7.1 Fases topológicas em sistemas fotónicos 177 7.2 Modos de fronteira com quebra de simetria de inversão temporal 177 7.2.1 Guias de ondas 177 7.2.2 Tubos de ferrite 181 7.2.3 Ondas num meio periódico: cristais fotónicos 184 7.2.4 Modos TM numa rede periódica 186 7.2.5 Modelo efetivo para bandas quadráticas 187 7.2.6 Implementação experimental 190 7.3 Sistemas com simetria de inversão temporal 191 7.3.1 Difusão de uma partícula por um potencial 191 7.3.2 Matriz S para a difusão de ondas eletromagnéticas 194 8 INFORMAÇÃO QUÂNTICA E SISTEMAS TOPOLÓGICOS 199 8.1 Emaranhamento 201 8.1.1 Entropia de von Neumann 203 8.1.2 Relação com funções de correlação 204 8.1.3 Impureza num supercondutor convencional 206 8.2 Espetro de emaranhamento 208 8.2.1 Emaranhamento no espaço real 208 8.2.2 Emaranhamento no espaço dos momentos 209 8.3 Fidelidade 212 8.3.1 Estados puros 212 8.3.2 Fidelidade entre estados parciais 212 8.3.3 Sistema a dois níveis 213 8.3.4 Estados de um supercondutor com impurezas magnéticas 215 8.3.5 Espetro da fidelidade e transições de fase em sistemas quânticos 217 8.3.6 Espetro da fidelidade de um supercondutor topológico 217 8.3.7 Transição de fase quântica no modelo de Kitaev 220 8.3.8 Suscetibilidade da fidelidade 221 8.4 Permutação não-abeliana de fermiões de Majorana 223 8.4.1 Produtos de fermiões de Majorana 223 8.4.2 Quantização do fluxo e permutação de Majoranas 225 9 SISTEMAS TOPOLÓGICOS FORA DE EQUILÍBRIO 231 9.1 Transformações quânticas repentinas 233 9.1.1 Probabilidade de sobrevivência e eco de Loschmidt 233 9.1.2 Não-conservação da energia 236 9.1.3 Modelo de Kitaev: estabilidade dos estados de fronteira 238 ÍND I CE v 9.1.4 Modelo de Sato e Fujimoto: estabilidade dos estados de fronteira 239 9.1.5 Evolução dos números de Chern 241 9.2 Perturbações periódicas: sistemas de Floquet 243 9.2.1 Cone de Dirac sob radiação circularmente polarizada 247 9.2.2 Expansão de Magnus 248 9.2.3 Invariantes: formulação no espaço das frequências 250 9.2.4 Bandas das quase-energias e criação de modos π 252 9.2.5 Invariantes: formulação temporal 254 9.2.6 Fase de Berry-Floquet 256 9.3 Impulsos instantâneos periódicos 256 9.3.1 Valores próprios do operador de Floquet 257 9.3.2 Hamiltoniano efetivo 258 A REALIZAÇÃO FÍSICA DO MODELO DE KITAEV 263 B TOPOLOGIA DA SUPERFÍCIE DE FERMI 269

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